时间序列分析入门¶

一、时间序列是什么¶

时间序列就是按时间顺序排列的一组数据，就像你每天早上量的体重，从第一天到第一百天，这些体重数字按日期排成一排，这就是时间序列。它记录了事物在不同时间的状态，可以是股票价格、气温变化、产品销量等等。

二、时间序列的特点¶

1. 趋势（Trend）¶

就像你长个子一样，时间序列也有自己的“生长方向”。比如一家公司的销售额逐年增长，这就是向上趋势；而某款老旧手机的销量可能逐年下降，这是向下趋势。趋势是时间序列在长期内持续向上或向下的变化。

2. 季节性（Seasonality）¶

时间序列会随着季节变化而波动，就像冬天卖羽绒服多，夏天卖冰棍多。这种在一年内固定周期出现的规律性波动就是季节性。不仅是自然季节，像电商在“双十一”这样的购物节也会出现销售高峰，这也是一种季节性表现。

3. 周期性（Cyclical）¶

除了季节性，时间序列还有更长周期的波动，比如经济有繁荣和萧条的周期，可能几年繁荣，几年萧条，这种波动周期不固定，比季节性更复杂。

4. 随机性（Irregular）¶

除了这些规律，时间序列还有一些不可预测的随机波动，就像你某天因为感冒体重突然下降，或者股市因为突发事件大幅波动，这些是时间序列中的随机成分。

三、时间序列分析方法¶

1. 平滑法¶

平滑法就像给时间序列“磨平棱角”，让数据更平滑，便于发现趋势。简单移动平均就是取最近几个数据点的平均值，比如计算三天的平均气温来平滑气温曲线；指数平滑法则更注重近期数据，给它们更大的权重。

2. 分解法¶

分解法是把时间序列拆成趋势、季节性和随机性这几个部分，就像拆解机器一样。通过分解，我们可以清楚地看到每个部分对时间序列的影响，比如分析产品销量时，可以知道销量变化是因为整体市场趋势，还是因为季节因素，或是随机波动。

3. ARIMA模型¶

ARIMA模型是时间序列分析的“瑞士军刀”，它能处理各种时间序列数据。它通过综合考虑数据的自相关性和移动平均性来预测未来值。比如预测股票价格时，ARIMA模型会分析过去价格和误差项的关系，来预测下一期的价格。

4. 指数平滑法¶

指数平滑法是平滑法的升级版，它对不同时间的数据赋予不同的权重，越近的数据权重越大。这种方法不仅能平滑数据，还能进行预测，尤其适用于有趋势和季节性的数据，比如预测下季度的销售量。

四、时间序列分析的应用¶

时间序列分析在生活中无处不在，比如：

金融领域：预测股票价格、汇率走势，帮助投资者决策。
商业领域：预测产品销量，优化库存管理，避免缺货或积压。
气象领域：预测气温、降水量等气象数据，为农业生产、防灾减灾提供依据。

- 工业领域：监测生产设备的运行状态，预测设备故障，提前进行维护。¶

ARIMA模型理论¶

核心思想

\[ ARIMA(p,d,q) = 差分d次使数据平稳 + ARMA(p,q) \]

d的含义：需要做几次差分才能消除趋势/季节性

公式：

$$ \Delta^d Y_t = \text{AR}(p) + \text{MA}(q) $$ （$\Delta$ 表示差分，如 $\Delta Y_t= Y_t - Y_{t-1}$），$\text{AR}(p)$：用过去$p$天的数据预测今天，$\text{MA}(q)$：用过去$q$天的预测误差修正今天。

操作步骤

ADF检验确认是否需要差分（若p值>0.05，则需差分）
观察ACF/PACF或自动定阶（如auto.arima）
模型诊断：残差是否为白噪声（Ljung-Box检验）

白噪声

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1. 信息准则（AIC、BIC）（确定模型参数用的！）¶

在选择时间序列模型时，我们不仅要看模型拟合的好坏，还要考虑模型的复杂性。

AIC（赤池信息量准则）和BIC（贝叶斯信息量准则）是两个常用的统计指标，它们帮助我们平衡模型的拟合效果与复杂度。

总结：小样本用AIC、大样本用BIC

AIC（赤池信息量准则）¶

AIC（Akaike Information Criterion）：AIC 是衡量模型拟合优度的标准，综合考虑模型的拟合程度（即残差平方和）和模型的复杂度。其公式如下：

$$ \text{AIC} = 2k - 2\ln(L) $$

参数解释：
$ k $：模型中的参数个数
$ L $：模型的似然函数（描述模型拟合度的指标）
AIC 的意义：AIC 值越小，模型越好。它用于在多个候选模型中选择拟合效果最佳的模型，同时对过于复杂的模型进行惩罚。

BIC（贝叶斯信息量准则）¶

BIC（Bayesian Information Criterion）：BIC 和 AIC 类似，也是用来衡量模型拟合优度的标准。与 AIC 相比，BIC 对于模型复杂度的惩罚力度更大。BIC 的公式如下：
\[ \text{BIC} = \ln(n)k - 2\ln(L) \]
参数解释：
$ n $：样本大小
$ k $：模型中的参数个数
$ L $：模型的似然函数
BIC 的意义：与 AIC 类似，BIC 值越小越好。但由于 BIC 对复杂度的惩罚更强，它更倾向于选择简单的模型。

2. 模型检验¶

理想情况下，残差的ACF，PACF应接近于零。

3. 预测误差评估（常用MAPE）¶

MAPE（平均绝对百分比误差，在15%以内模型都可以用）

MAPE 是基于误差的百分比的平均值，常用于衡量模型的相对误差，公式： $$ \text{MAPE} = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n \left| \frac{y_t - \hat{y}_t}{y_t} \right| \times 100\% $$

其中，( $y_t$ ) 是实际值，( $\hat{y}_t$ ) 是预测值，( $n$ ) 是样本量。

特点

MAPE 能够反映相对误差，适合用于不同量级数据的比较。
但当实际值接近 0 时，MAPE 可能出现较大波动。