灰色预测
省流¶
### **灰色预测（Grey Prediction）**
**1. 核心作用**
- **小样本预测**：数据量少（≥4条）时仍能建模。
- **短期趋势预测**：挖掘系统演化规律，预测未来短期状态。
- **不确定性分析**：适用于“部分信息已知，部分未知”的灰色系统。
**2. 能解决的问题**
- **数据不足预测**：历史数据稀缺（如新兴行业销量、灾害发生频率）。
- **趋势外推**：分析单调增长/衰减趋势（如人口、资源消耗）。
- **系统行为分析**：判断系统是否遵循指数规律发展。
**3. 典型应用场景**
- **经济**：区域GDP短期预测、贫困人口规模估算
- **环境**：污染物浓度变化、碳排放趋势
- **农业**：粮食产量预测、病虫害爆发预警
- **工程**：设备磨损速率预测
**4. 常用模型**
- **GM(1,1)**：基础灰色模型（1阶方程，1个变量）
- **GM(1,N)**：多变量灰色模型
- **DGM/Verhulst**：针对饱和型序列（如人口增长受限）
**5. 使用建议**
- **数据检验**：需通过级比检验（级比值在可行区间内）。
- **适用场景**：短期预测（3-5步），数据波动小、趋势明显时效果佳。
- **改进策略**：对残差修正（如马尔可夫链）或结合ARIMA/LSTM增强精度。
---
**简练总结**：灰色预测是 **小数据、短期、趋势型问题** 的利器，数学建模中常用于数据不足的经济/环境预测题，需注意 **避免滥用**（长期预测或波动剧烈数据不适用）。
## 灰色预测的特点
适用于 **小样本（<30）** 数据、不需要数据服从特定分布、能处理不确定性数据、计算方法简单，短期预测效果较好。GM（1,1）模型：表示该模型包含一个变量，用一阶微分方程建模。
灰色预测的实现步骤：¶
（1）累加生成（AGO）变换¶
使数据序列呈现较明显的单调趋势。
示例：假设原始数据：
\[
X^{(0)} = \{3, 5, 8, 12, 20\}
\]
则 AGO 变换后的数据：
\[
X^{(1)} = \left\{3, (3+5)=8, (3+5+8)=16, (3+5+8+12)=28, (3+5+8+12+20)=48\right\}
\]
（2）微分方程的建立¶
\[
\frac{d X^{(1)}}{d t} + a X^{(1)} = b
\]
其中：
- a 是发展系数（表示系统变化速率）。
- b 是灰色作用量（表示外部影响）。
此方程表示累加数据的变化率与当前值成正比，类似于指数增长模型。
（3）利用最小二乘法求解 \(a\)，\(b\)¶
\[
[a, b]^T = (B^T B)^{-1} B^T Y
\]
（4）得到预测公式¶
\[
X^{(1)}(k) = \left(X^{(0)}(1) - \frac{b}{a}\right) e^{-a k} + \frac{b}{a}
\]
（5）累减还原得到预测值¶
IAGO变换，求相邻项的差分。
（6）模型的检验¶
一般使用相对残差与级比偏差图。
（一般要求平均相对残差（MAPE）小于 10%，级比偏差通常要求小于 20%）