灰色预测
灰色预测的特点¶
适用于 小样本（<30） 数据、不需要数据服从特定分布、能处理不确定性数据、计算方法简单，短期预测效果较好。GM（1,1）模型：表示该模型包含一个变量，用一阶微分方程建模。
灰色预测的实现步骤：¶
（1）累加生成（AGO）变换¶
使数据序列呈现较明显的单调趋势。
示例：假设原始数据：
\[
X^{(0)} = \{3, 5, 8, 12, 20\}
\]
则 AGO 变换后的数据：
\[
X^{(1)} = \left\{3, (3+5)=8, (3+5+8)=16, (3+5+8+12)=28, (3+5+8+12+20)=48\right\}
\]
（2）微分方程的建立¶
\[
\frac{d X^{(1)}}{d t} + a X^{(1)} = b
\]
其中：
- a 是发展系数（表示系统变化速率）。
- b 是灰色作用量（表示外部影响）。
此方程表示累加数据的变化率与当前值成正比，类似于指数增长模型。
（3）利用最小二乘法求解 \(a\)，\(b\)¶
\[
[a, b]^T = (B^T B)^{-1} B^T Y
\]
（4）得到预测公式¶
\[
X^{(1)}(k) = \left(X^{(0)}(1) - \frac{b}{a}\right) e^{-a k} + \frac{b}{a}
\]
（5）累减还原得到预测值¶
IAGO变换，求相邻项的差分。
（6）模型的检验¶
一般使用相对残差与级比偏差图。
（一般要求平均相对残差（MAPE）小于 10%，级比偏差通常要求小于 20%）