2.3 序列和求和

序列（sequence）是一个从整数集的一个子集（通常是集合 \(\{0,1,2, \dots\}\)或集合 \(\{1,2,3,\dots\}\)）到一个集合 \(S\)的函数。用记号 \(a_n\) 表示整数 \(n\) 的像。称 \(a_n\) 为序列的一个项（term）。

初始项：initial term

几何/等比数列：geometric progression

算数/等差数列：arithmetic progression

公比：common ratio

公差：common difference

几何平均（geometric mean）：\(ar^n = \sqrt{ar^{n-1} \cdot ar^{n+1}}\)。用矩形的面积转换成正方形的面积来理解。

算数平均（arithmetic mean）：\(a+nd=\frac{(a+(n-1)d)+(a+(n+1)d)}{2}\)

递推关系：recurrence relation

闭公式：closed formula

迭代法：iteration technique

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对序列 \(\{a_b\}\)求和

\[ \sum_{j=m}^n a_j \qquad \sum_{j=m}^n a_j \qquad \sum_{m \leq j \leq n} a_j \]

其中，\(j\) 是求和下标，\(m\) 是下限，\(n\) 是上限。

无穷级数（infinite series）：

\[ \sum^{\infty}_{k=0}{x^k} = \frac{1}{1-x}, where |x| < 1 \]

\[ \sum^{\infty}_{k=1}{kx^{k-1}} = \frac{1}{(1-x)^2}, where |x| < 1 \]