2.1 集合

定义

集合是不同对象的一个无序的聚集，对象也称为集合的元素（elements）或成员（member）。

  • 用大写表示集合
  • 用小写表示元素

集合的描述：

  • Roster Methos-花名册法：\(\{1,3,5,7,9,……\}\)
  • Set Builder Notation-集合构造器：\(\{x \in \mathbb{N} | 0 \leq x \leq 9 \}\)

集合相等 ： 两个集合相等当且仅当它们拥有同样的元素：\(\forall x(x \in A \leftrightarrow x \in B)\)，则 \(A=B\)

Singleton Set - 单元素集合：只有一个元素的集合

Empty Set/Null Set - 空集：\(\varnothing\)，\(\not = \{\varnothing\}\)

  • Naive Set Theory - 朴素集合论：基于对象的直觉概念基础上，使用花名册法或集合构造器
  • Russel’s Paradox - 罗素悖论：集合\(R\)包含所有不包含自身的集合，\(R = \{ x \mid x \notin x \}\)
  • Axiomatic Set Theort - 公理集合论：

集合的大小

  • Finite Sets - 有穷集合：集合 \(S\) 中恰有 \(n\) 个不同的元素，且 \(n \in \mathbb{N}\)，就称 \(S\) 为有限集，\(n\) 是 \(S\) 的基数，记为 \(|S|\)
  • Infinite Sets - 无穷集合

幂集

Power Set：集合 \(S\) 所有子集的集合，记作 \(\mathcal{P}(S)\)

有序\(n\)元组

Oedered N-tuple：以 \(a_1\) 为第\(1\)个元素，…… \(a_n\) 为第\(n\)个元素的有序聚集

笛卡尔积

Cartesian Product：是所有序偶\((a, b)\)的集合，\(A \times B = \{(a,b) | a \in A \wedge b \in B\}\)。

\(A_1 \times A_2 \times …… \times A_n = \{(a_1, a_2, …,a_n) | a_i \in A,i=1,2,…,n\}\)

集合的运算：

  • \(A \cup B = \{ x \mid x \in A \vee x \in B \}\)
  • \(A \cap B = \{ x \mid x \in A \wedge x \in B \}\)
  • \(A \setminus B = A - B = \{ x \mid x \in A \wedge x \notin B \}\)
  • \(\overline{A} = \{ x \mid x \in U \wedge x \notin A \}\)