2.2 函数
定义
令 \(A\) 和 \(B\) 为非空集合。从 \(A\) 到 \(B\) 的函数 \(f\) 是对元素的一种指派，对 \(A\) 的每个元素恰好指派 \(B\) 的一个元素。如果 \(B\) 中元素 \(b\) 是唯一由函数 \(f\) 指派给 \(A\) 中元素 \(a\) 的，则写成 \(f(a) = b\)。如果 \(f\) 是从 \(A\) 到 \(B\) 的函数，就写成 \(f: A \rightarrow B\)。
- \(A\) 是 定义域（domain），\(B\) 是 陪域（codomain）。
- 如果 \(f(a) = b\)，则：
- \(b\) 是 \(a\) 的 像（image）。
- \(a\) 是 \(b\) 的 原像（preimage）。
- 函数 \(f\) 的 值域（range）：集合 \(A\) 中所有元素的像的集合。
- \(f\) 把 \(A\) 映射（map） 到 \(B\)
codomain Vs. range
注意从 \(A\) 到 \(B\) 的函数的 陪域 是这类函数所有可能的值的集合（即 \(B\) 的所有元素），而 值域 则是对所有 \(a \in A\) 的 \(f(a)\) 值的集合，并且总是陪域的子集。
也就是说，陪域是函数的可能值的集合，而值域是所有那些能作为定义域中至少一个元素的 \(f\) 函数值的陪域中元素的集合。
令 \(f\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的函数，\(S\) 为 \(A\) 的一个子集。\(S\) 在函数 \(f\) 下的像是由 \(S\) 中元素的像组成的 \(B\) 的子集。我们用 \(f(S)\) 表示 \(S\) 的像，于是
我们也用简写 \(\{ f(s) \mid s \in S \}\) 来表示这个集合。
一对一/单射函数（one-to-one/injective function）：当且仅当\(a_1，a_2 \in A\)，\(a_1 \not = a_2\)时，\(f(a_1) \not = f(a_2)\)；\(f(a_1)=f(a_2)\)时，\(a_1=a_2\)
（严格）递增/减函数：(strictly) increasing/decreasing function
映上/满射函数（onto/surjective function）：当且仅当每个 \(b \in B\) 有元素 \(a \in A\) 使得 \(f(a)=b\)
一一对应/双射函数（one-toone correspondence/bijective function）：既是一对一的又是映上的
逆函数（inverse function）：\(f\) 是一一对应的。 - 可逆（invertible）函数：一一对应 - 不可逆（non-invertible）函数：不是一一对应
函数组合（function composition）：\((f \circ g)(a) = f(g(a))\)
函数图（graphs of functions）
上下取整函数（floor/ceilling function）